ക്ലാസിക്കൽ ചലന നിയമങ്ങളിൽ ഒടുവിലെത്തിയ ഹാമിൽട്ടൻ -ജേക്കബി സമവാക്യത്തിന്റെ ഉൽഭവത്തോടെ ക്വാണ്ടം ഭൌതികതയിലേക്കുള്ള ഗണിത പരമായ സൈദ്ധാന്തിക പ്രയാണം സാധ്യമായിരുന്നു. പദാർത്ഥങ്ങളുടെ ദ്വന്ദ സ്വഭാവമാണ് ക്വാണ്ടം ഭൌതികതയുടെ മുഖമുദ്ര എങ്കിൽ ക്ലാസ്സിക്കൽ ഭൌതികതയിലാകട്ടെ കണികാ സിദ്ധാന്തവും തരംഗ സിദ്ധാന്തവും ഒറ്റപ്പെട്ട രണ്ടു ദ്വീപുകളിലായി അകലം പ്രാപിച്ചിരുന്നു. ആയതിനാൽ, ന്യൂട്ടൺ സിദ്ധാന്തം മുതൽ ലഗ്രന്ജിയൻ തുടങ്ങി ഹാമിൽട്ടൻ സിദ്ധാന്തം വരെ പദാർത്ഥങ്ങളുടെ കണികാ സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തി മാത്രം രൂപപ്പെട്ടതും നിർദ്ധാരണം ചെയ്തതുമാണ്. എന്നാൽ, ഇക്കാലയളവിൽ തരംഗത്തെ അഭിസംബോധന ചെയ്തിരുന്നതാകട്ടെ ക്രിസ്ത്യൻ ഹൈഗന്റെ തരംഗ സിദ്ധാന്തമായിരുന്നു. എന്നാൽ, മേൽസൂചിപ്പിച്ച രണ്ടു അവസ്ഥയെയും, അതായതു പദാർത്ഥ കണികകളേയും തരംഗത്തെയും പ്രത്യേകമായി ഒരേ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിൽ വിജയിച്ചിടത്താണ് ഹാമിൽട്ടൻ -ജേക്കബി സമവാക്യം അതിന്റെ പ്രസക്തി പരിസരം സൃഷ്ടിക്കുന്നത്.
ഹാമിൽട്ടൻ -ജേക്കബി സമവാക്യത്തിന്റെ മേൽ സൂചിപ്പിച്ച സാധ്യതയെ മുൻനിർത്തി ഡി-ബ്രോഗ്ലിയുടെ ദ്വന്ദ നിയമത്തെയും അത്പോലെ ബോറും സോമർഫെൽഡും ചേർന്ന് രൂപപ്പെടുത്തിയ ക്വാണ്ടവൽക്കരണ നിയമത്തെയും ഖണ്ഡിചേർത്ത് ഷോഡിന്ജർ രൂപപ്പെടുത്തിയ സമവാക്യമാണ് ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിത്തറ ഭൌതികമായും ഗണിതപരമായും ഭദ്രമാക്കിയിട്ടുളളത്‌. പദാർത്ഥത്തിന്റെ ദ്വന്ദ സ്വഭാവം അനുസരിച്ച് അവയെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്ന തരംഗത്തെ സംബന്ധിച്ചാണ് ഡി-ബ്രോഗ്ലി അന്വേഷിച്ചതും കണ്ടെത്തിയതും. Lamda= h/p എന്ന ഫോർമുല ദ്വന്ദസ്വാഭാവത്തിന്റെ കാതലായ ഗണിതസൂചകമാണ്. ഇവിടെ lamda തരഗദൈർഘ്യവും 'h' പ്ലാങ്ക് സ്ഥിരാംഗവും 'p' പദാർത്ഥ കണികയുടെ ആക്കവുമാകുന്നു. എന്നാൽ ഷോഡിന്ജർ പഠനം നടത്തിയതാകട്ടെ, നിമഗ്നമയ പദാർത്ഥ തരംഗത്തെ; ഹാമിൽട്ടൻ-ജേക്കബി സമവാക്യത്തേയും ഹൈഗൻ തത്വങ്ങളെയും സമന്വയിപ്പിച്ച് എങ്ങനെ നിർധാരണം നടത്താം എന്നാണ്. അതുവഴി ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിത്തറ ഗണിതപരമായി ഭദ്രമാക്കുന്നതിലും ശ്രദ്ധ ചെലുത്തി. തൽഫലമാണ്, ക്വാണ്ടം ഭൌതികതയിൽ അടിസ്ഥാന സമവാക്യ രൂപീകരണത്തിനും പിൽക്കാലത്ത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ തന്നെ പേരിൽ പ്രസിദ്ധമായ ഷൊഡിന്ജർ സമവാക്യം രൂപപ്പെടുന്നത്. ചുരുക്കത്തിൽ H psi = E psi എന്നാണ് ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ സാമാന്യ രൂപം. ഇവിടെ ഡി-ബ്രോഗ്ലിയുടെ സമീപനത്തിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായി പദാർത്ഥ തരംഗത്തിന്റെ ഉന്നതിയിലാണ് ഷോഡിന്ജർ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ചത്. E പദാർത്ഥത്തിന്റെ ആകെ ഊർജ്ജത്തെ സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, H ഊർജ്ജത്തെ അന്വേഷിക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്പറേറ്റർ ആയി വർത്തിക്കുന്നു.
ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണം പലപ്പോഴും ലളിതമായ ഭൌതികാവസ്ഥകളെ മാറ്റിനിർത്തിയാൽ, നയിക്കുന്നത് അപ്രായോഗിക നിഗമനങ്ങളിലേയ്ക്കായിരിക്കും. ആയതിനാൽ ചില ഏകദേശ വൽക്കരണ രീതികൾ നിർദ്ധാരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ആവശ്യമായി വരുന്നു. ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് പകർപ്പുകൾ ഉണ്ട്; സമയബന്ധിതമായതും അല്ലാത്തതും. വിശകലനം ചെയ്യപ്പെടേണ്ട ഓരോ ഭൌതികാവസ്ഥയുടെയും സ്വഭാവം മനസ്സിലാക്കി അനുയോജ്യമായ പകർപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് സാധാരണ രീതി. സമയബന്ധിതമായ ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യം ലളിതമായ ഭൌതികാവസ്ഥയിൽ ഉപയോഗിക്കാൻ അനുയോജ്യമായതിനാൽ ഇവിടെ ഏകദേശ വൽക്കരണ രീതികൾ ആവശ്യമായി വരുന്നില്ല. എന്നാൽ, സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണത്തിനായി രൂപപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഗണിത ശാസ്ത്ര രീതികളാണ് WKB ഏകദേശ വൽക്കരണ രീതി, വേരിയേഷണൽ തത്വം, അതുപോലെ സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ സിദ്ധാന്തം എന്നിവ. ഇവയിൽ WKB രീതിയുടെ പ്രയോഗ സാധ്യതകളെ കുറിച്ച് ചില സൂചനകൾ തുടർന്ന് പ്രതിപാദിക്കാം.
ക്ലാസ്സിക്കൽ ഭൌതികാവസ്ഥയുടെ പരിധിയിൽ കുടികൊള്ളുന്ന പ്രശ്നങ്ങളെയും ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തത്തേയും അതിന്റെ പരിപൂർണ്ണ പരിധിയിൽ ചലനാത്മകമായ അവസ്ഥകളെയും തമ്മിൽ ഖണ്ഡിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഏകദേശവൽകരണ ഗണിത ക്രിയ ആണ്; വെന്റ്സെൽ, ക്രോമേഴ്സ്, ബ്രില്ലോയിൻ എന്നീ മൂന്ന് ശാസ്ത്രകാരന്മാരുടെ സംഭാവനകളെ മാനിച്ച് അവരുടെ പേരിന്റെ ആദ്യാക്ഷ ങ്ങൾ ചേർത്ത് അറിയപ്പെടുന്ന WKB ഏകദേശവൽക്കരണ രീതി. ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തം പ്രകാരം ഏതൊരു ചലനാവസ്ഥയുമായും ബന്ധപ്പെട്ട് കുടികൊള്ളുന്ന ദ്വന്ദ സ്വഭാവത്തിന്റെ രീതി ശാസ്ത്രം വ്യക്തമാക്കുന്നത് പദാർത്ഥ തരംഗങ്ങളുടെ (Matter Waves) നിർദ്ധാരണം, ആ പ്രത്യേക ചലനത്തിനാസ്പദമായ സമഗ്രമായ വിവര ശേഖരണത്തിനുള്ള ഉപാധിയായിട്ടാണ്. പദാർത്ഥ തരംഗങ്ങളെ ഗണിതശാസ്ത്ര പരമായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിൽ ഷോഡിൻജർ കൈവരിച്ച നേട്ടം അനുപമമാണ്. ഇവിടെ WKB എന്നത്, ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യം അതിന്റെ നിർദ്ധാരണത്തിനാവശ്യമായ ഗണിത മേഖലകളിലൂടെ മുന്നേറുമ്പോൾ ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തം അനുവർത്തിക്കുന്ന ഭൌതികാവസ്ഥയുടെ വിവിധങ്ങളായ സാധ്യതകൾ ഉപയോഗപ്പെടുത്തി പ്രായോഗിക നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉപാധിയാണ്. ചില ഏകദേശ രീതി ക്രമങ്ങൾ ഇതിനു അനുബന്ധമായി കാണേണ്ടതുണ്ട്. WKB രീതിയുടെ പ്രയോഗത്തിനായി ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യത്തെ ഒറ്റപ്പെട്ട സ്വതന്ത്ര പ്രത്യയങ്ങളടങ്ങിയ പദങ്ങളായി വേർപെടുത്തുകയും, ഓരോ പദവും ഓരോ ഭൌതികാവസ്ഥയുടെ പരിധിയിൽ മൂല്യവത്താകുന്NA THAANUVARTHIKKUNNU.
ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണം പലപ്പോഴും ലളിതമായ ഭൌതികാവസ്ഥകളെ മാറ്റിനിർത്തിയാൽ, നയിക്കുന്നത് അപ്രായോഗിക നിഗമനങ്ങളിലേയ്ക്കായിരിക്കും. ആയതിനാൽ ചില ഏകദേശ വൽക്കരണ രീതികൾ നിർദ്ധാരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ആവശ്യമായി വരുന്നു. ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് പകർപ്പുകൾ ഉണ്ട്; സമയബന്ധിതമായതും അല്ലാത്തതും. വിശകലനം ചെയ്യപ്പെടേണ്ട ഓരോ ഭൌതികാവസ്ഥയുടെയും സ്വഭാവം മനസ്സിലാക്കി അനുയോജ്യമായ പകർപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് സാധാരണ രീതി. സമയബന്ധിതമായ ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യം ലളിതമായ ഭൌതികാവസ്ഥയിൽ ഉപയോഗിക്കാൻ അനുയോജ്യമായതിനാൽ ഇവിടെ ഏകദേശ വൽക്കരണ രീതികൾ ആവശ്യമായി വരുന്നില്ല. എന്നാൽ, സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണത്തിനായി രൂപപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഗണിത ശാസ്ത്ര രീതികളാണ് WKB ഏകദേശ വൽക്കരണ രീതി, വേരിയേഷണൽ തത്വം, അതുപോലെ സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ സിദ്ധാന്തം എന്നിവ. ഇവയിൽ WKB രീതിയുടെ പ്രയോഗ സാധ്യതകളെ കുറിച്ച് ചില സൂചനകൾ തുടർന്ന് പ്രതിപാദിക്കാം.
ക്ലാസ്സിക്കൽ ഭൌതികാവസ്ഥയുടെ പരിധിയിൽ കുടികൊള്ളുന്ന പ്രശ്നങ്ങളെയും ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തത്തേയും അതിന്റെ പരിപൂർണ്ണ പരിധിയിൽ ചലനാത്മകമായ അവസ്ഥകളെയും തമ്മിൽ ഖണ്ഡിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഏകദേശവൽകരണ ഗണിത ക്രിയ ആണ്; വെന്റ്സെൽ, ക്രോമേഴ്സ്, ബ്രില്ലോയിൻ എന്നീ മൂന്ന് ശാസ്ത്രകാരന്മാരുടെ സംഭാവനകളെ മാനിച്ച് അവരുടെ പേരിന്റെ ആദ്യാക്ഷ ങ്ങൾ ചേർത്ത് അറിയപ്പെടുന്ന WKB ഏകദേശവൽക്കരണ രീതി. ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തം പ്രകാരം ഏതൊരു ചലനാവസ്ഥയുമായും ബന്ധപ്പെട്ട് കുടികൊള്ളുന്ന ദ്വന്ദ സ്വഭാവത്തിന്റെ രീതി ശാസ്ത്രം വ്യക്തമാക്കുന്നത് പദാർത്ഥ തരംഗങ്ങളുടെ (Matter Waves) നിർദ്ധാരണം, ആ പ്രത്യേക ചലനത്തിനാസ്പദമായ സമഗ്രമായ വിവര ശേഖരണത്തിനുള്ള ഉപാധിയായിട്ടാണ്. പദാർത്ഥ തരംഗങ്ങളെ ഗണിതശാസ്ത്ര പരമായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിൽ ഷോഡിൻജർ കൈവരിച്ച നേട്ടം അനുപമമാണ്. ഇവിടെ WKB എന്നത്, ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യം അതിന്റെ നിർദ്ധാരണത്തിനാവശ്യമായ ഗണിത മേഖലകളിലൂടെ മുന്നേറുമ്പോൾ ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തം അനുവർത്തിക്കുന്ന ഭൌതികാവസ്ഥയുടെ വിവിധങ്ങളായ സാധ്യതകൾ ഉപയോഗപ്പെടുത്തി പ്രായോഗിക നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉപാധിയാണ്. ചില ഏകദേശ രീതി ക്രമങ്ങൾ ഇതിനു അനുബന്ധമായി കാണേണ്ടതുണ്ട്. WKB രീതിയുടെ പ്രയോഗത്തിനായി ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യത്തെ ഒറ്റപ്പെട്ട സ്വതന്ത്ര പ്രത്യയങ്ങളടങ്ങിയ പദങ്ങളായി വേർപെടുത്തുകയും, ഓരോ പദവും ഓരോ ഭൌതികാവസ്ഥയുടെ പരിധിയിൽ മൂല്യവത്താകുന്NA THAANUVARTHIKKUNNU.
(തുടരും)