ബാഹ്യ മണ്ഡലങ്ങളുടെ സ്വാധീനത്താൽ ഉർജ്ജ നിലകൾ വിഘടിക്കപ്പെട്ട അഥവാ ഡിജനറേറ്റ് ചെയ്യപ്പെട്ട ചലനാവസ്ഥയും സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമവും

കഴിഞ്ഞ ലേഖനത്തിൽ പ്രതിപാദിച്ചത് സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമം ഒരു നോൺ-ഡീജനറേറ്റ് ചലനാവസ്ഥയുടെ ഊർജ്ജ നിർദ്ധാരണത്തിന് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നാണ് !  സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമം  ഏകേദശവൽക്കരണ ഗണിത ക്രിയയിലൂടെയാണ് കൂടുതൽ കൃത്യതയോടെ ഉർജ്ജ നിർദ്ധാരണം നടത്തുന്നതിന് ആ ചലനാവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഷ്രോഡിൻജർ  സമവാക്യത്തിൽ  ഉപയോഗിച്ചത് എന്നു നാം കണ്ടു ! ലേഖനം വീണ്ടും വായിക്കുന്നതിന് ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യാം !

അവിടെ പരിഗണനാ വിഷയമായത് ചലനാവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സ്ഥിതികോർജ്ജ വ്യതിയാനങ്ങൾ വളരെ പരിമിതമായ അളവിൽ മാത്രമായതും ഒപ്പം ഊർജ്ജ നിലകളിൽ ബാഹ്യ മണ്ഡലങ്ങളുടെ സ്വാധീനം ഇല്ലാത്ത നോൺ- ഡിജനറസിയുമാണ്  ! അതായത് പെർട്ടർബ്ഡ് ചലനാവസ്ഥയും അൺപെർട്ടർബ്ഡ് ചലനാവസ്ഥയും തമ്മിലുള്ള ഊർജ്ജ വ്യത്യാസം തുലോം ചെറുതും ഊർജ്ജ നിലകൾ നോൺ- ഡിജനറേറ്റ് ആയി നിലകൊള്ളുന്നതുമായ  ചലനാവസ്ഥ !

എന്നാൽ, ഇവിടെ നാം പരിഗണിക്കുന്നത് ചലനാവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഊർജ്ജ നിലകളിൽ ബാഹ്യ മണ്ഡലങ്ങളുടെ കൂടി ഇടപെടൽ വരുമ്പോൾ സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്ന ഡിജനറസിയും അത് ഊർജ്ജ വ്യതിയാനങ്ങളിൽ കൊണ്ടു വരുന്ന മാറ്റവും ഒപ്പം പെർട്ടർ ബ്ഡ് ചലനാവസ്ഥയും അൺ പെർട്ടർബ്ഡ് ചലനാവസ്ഥയും തമ്മിൽ ഹാമിൽട്ടോണിയനിൽ വരുത്തിയിട്ടുള്ള മാറ്റങ്ങളുമാണ് !

ബാഹ്യ മണ്ഡലത്തിൻ്റെ സ്വാധീനത്താൽ ഡീജനറസി രൂപപ്പെടുമ്പോൾ ഊർജ്ജ നിലകൾ വിഘടിക്കുന്നു ! (psi)n°  ഡിജനറേറ്റ് ചെയ്യപ്പെടാത്ത ഒരു പ്രത്യേക ഊർജ്ജ നിലയുടെ അൺപെർട്ടർബ്ഡ് വേവ് ഫംഗ്ഷൻ ആണെങ്കിൽ, ഡിജനറസി രൂപപ്പെടുമ്പോൾ ഈ ഊർജ്ജ നില വിഘടിക്കുകയും, തൽഫലമായി വിഘടിക്കപ്പെട്ട ഓരോ സബ് ഊർജ്ജ നിലകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഓരോരോ അൺപെർട്ടർബ്ഡ് വേവ് ഫംഗ്ഷനുകൾ ലഭിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു! അപ്പോൾ ഒരു പ്രത്യേക ഊർജ്ജ നിലയിൽ നിമഗ്നമായിട്ടുള്ള ഓരോ സബ് ഊർജ്ജ നിലകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അൺപെർട്ടർബ്ഡ് വേവ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ രേഖീയ സങ്കലനം ഇവിടെ പ്രസക്തമാകുന്നു ! 

ഉദാഹരണത്തിന്, ഇപ്പോൾ ഒരു പ്രത്യേക ഊർജ്ജ നിലയുടെ ദ്വിമാന ഡിജനറസി ആണ് പരിഗണിക്കുന്നതെങ്കിൽ, അവിടെ രണ്ട് സബ് ഊർജ്ജ നിലകൾ ഉണ്ടാകും ! ആദ്യത്തെ സബ് ഊർജ്ജ നിലയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അൺപെർട്ടർബ്ഡ് വേവ് ഫംഗ്ഷനെ (psi)n° എന്നും രണ്ടാമത്തെ സബ് ഊർജ്ജ നിലയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അൺ പെർട്ടർബ്ഡ് വേവ് ഫംഗ്ഷനെ (psi)l° എന്നും വിളിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആ പ്രത്യേക ഉർജ്ജനിലയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മൊത്ത വേവ് ഫംഗ്ഷൻ,

(phi)= (C)n (psi)n° + (C)l (psi)l° ആകും ! ഇവിടെ (C)n, (C)l ഇവ, പ്രത്യേക ഊർജ്ജ നിലയുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധപ്പെട്ട സ്ഥിരാംഗങ്ങൾ ആകുന്നു ! 

വേവ് ഫംഗ്ഷനിൽ വന്നിട്ടുള്ള ഈ മാറ്റം കൂടി പെർട്ടർബേഷൻ നിയമപ്രകാരമുള്ള ഏകദേശവൽക്കരണ ഗണിതക്രിയയിൽ  ഉൾപ്പെടുത്തിയാൽ, ഊർജ്ജ നിലകളുടെ ഡിജനറസി കൂടി പരിഗണിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള തിരുത്തൽ പദങ്ങൾ, ഒന്നാം കൃതി, രണ്ടാം കൃതി, മൂന്നാം കൃതി .... തുടർന്നങ്ങനെ ലഭ്യമാകും !

കൂടുതൽ അറിയാനും ഗണിതക്രിയയും തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഊർജ്ജത്തിൻ്റെ ഐഗൻ വിലയും തിരുത്തൽ പദങ്ങളും ഒപ്പം ഐഗൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വിവിധ കൃതി തിരുത്തലുകളും ചുവടെ നൽകിയിട്ടുള്ള ലിങ്കിൽ പോയാൽ ലഭ്യമാകും !

ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക !

സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമവും ക്വാണ്ടം ചലനാവസ്ഥയുടെ നിർദ്ധാരണവും

 

ക്വാണ്ടം ചലന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പരിധിയിൽ വരുന്ന ഒരു പ്രായോഗിക അവസ്ഥയെ, ഷ്രോഡിൻജർ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കൃത്യമായി നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുക അത്ര എളുപ്പമല്ല ! ഇതിന് കാരണം, ക്വാണ്ടം പരിധിയിൽ വരുന്ന ഒരു യഥാർത്ഥ ചലനാവസ്ഥയുടെ  സ്ഥിതികോർജ്ജം അഥവാ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ സാധിക്കാത്തതാണ് ! ഇതുകൊണ്ട് തന്നെ നമുക്ക് ചില ഏകദേശവൽക്കരണ പ്രക്രീയയിലൂടെ മാത്രമേ  അത്തരം ചലനാവസ്ഥകളെ ഷ്രോഡിൻജർ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നിർദ്ധാരണം ചെയ്യാൻ സാധിക്കു ! ഇതിനായി, വിവിധ ഏകദേശവൽക്കരണ പ്രക്രീയകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട് ! അവയിൽ പ്രധാനമായ ഒന്നാണ് സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമം ! കഴിഞ്ഞ ലേഖനത്തിൽ ഇതിൻ്റെ ഒരു സൂചന നൽകിയിരുന്നു ! അതിൻ്റെ ലിങ്ക് ചുവടെ ചേർക്കുന്നു !

ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക

ബാഹ്യമായുള്ള വൈദ്യുത , കാന്തിക മണ്ഡലങ്ങളാൽ സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്ന പക്ഷം  ചലനാവസ്ഥയുടെ ഊർജ്ജ തലങ്ങൾ  ഡീജനറേറ്റ്  ആകുമെന്നും അല്ലാത്ത പക്ഷം നോൺ-ഡീജനറേറ്റ് ആകുമെന്നാണ് വിവക്ഷ ! ഇവിടെ നമുക്ക് നോൺ-ഡീജനറേറ്റ് ചലനാവസ്ഥ മാത്രം പരിശോധിക്കാം !

സ്ഥിതികോർജ്ജം കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ സാധിക്കാത്ത പക്ഷം, മൊത്തം ഊർജ്ജത്തെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്ന ഓപ്പറേറ്ററായ ഹാമിൽട്ടോണിയൻ (H) അറിയുക പ്രയാസമാണ് ! ഇനി, ചലനാവസ്ഥയുടെ സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിൽ ഉണ്ടായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന മാറ്റങ്ങൾ വളരെ പരിമിതമായതാണെന്ന് കരുതിയാൽ, ആ മാറ്റങ്ങൾക്കാനുപാതികമായ H നെ H' എന്ന് വിളിക്കാം ! ഇവിടെ H' നെ പെർട്ടർബേഷൻ ഹാമിൽട്ടോണിയൻ എന്നറിയപ്പെടുന്നു ! അതായത്, H' എന്നത് സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിലുണ്ടായ ഒരു ചെറിയ മാറ്റത്തെ മാത്രം പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്ന എനർജി ഓപ്പറേറ്ററാണെന്ന് സാരം ! 

സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിൽ മാറ്റം ഉണ്ടാകാത്ത ഒരു ക്ലാസിക്കൽ അവസ്ഥ പരിഗണിച്ചാൽ, അവിടുത്തെ മൊത്ത ഊർജ്ജ ഓപ്പറേറ്റർ H° ആയിരിക്കും ! ഇവിടെ H° യെ അൺപെർട്ടർബ്ഡ് ഹാമിൽട്ടോണിയൻ എന്ന് വിളിക്കാം ! 

അപ്പോൾ പെർട്ടർബേഷൻ കൂടി പരിഗണിക്കുമ്പോഴുള്ള മൊത്ത ഊർജ്ജ ഓപ്പറേറ്റർ, H ആയി എടുത്താൽ :

H= H° + k H' ആയിരിക്കും !

സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമത്തിൽ, H (psi) = E (psi) എന്ന ഷ്രോഡിൻജർ സമവാക്യത്തെ കൂടുതൽ കൃത്യതയോടെ, (H° + kH') (psi) = E (psi) എന്നെഴുതാം ! 

ഇവിടെ k എന്നത് ഒരു സ്ഥിരാംഗമാണ്! k ക്ക് 0 , 1 എന്നീ വിലകൾ അനുവദനീയമാണ് ! k=0 ആയാൽ ആ ചലനാവസ്ഥ അൺപെർട്ടർബ്ഡ് ആണ് ! അതായത്, H = H° ആകും ! k= 1 ആയാൽ ചലനാവസ്ഥ പെർട്ടർബ്ഡ് ആകുന്നു , അതായത്, H = H° + H' ആകും !

ഇവിടെ H° എന്ന അൺ പെർട്ടർബ്ഡ് ഹാമിൽട്ടോണിയന് ആനുപാതികമായ എനർജി ഐഗൻ വിലയെ En° എന്നും , ഐഗൻ വേവ് ഫംഗ്ഷനെ (psi)n° എന്നും വിളിക്കാം . ഇവിടെ, n എന്നത് ചലനാവസ്ഥ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന വ്യത്യസ്ഥങ്ങളായ ഊർജ്ജ നിലകളാണ് ; n ന് 0,1,2.... മുതലുള്ള വിലകൾ അനുവദനീയമാണ് ! 

അതേ പോലെ H' ന് ആനുപാതികമായ ഏനർജി ഐഗൻ വിലയും ഐഗൻ ഫoഗ്ഷനും എഴുതാം !

 ചലാനവസ്ഥയുടെ മൊത്ത ഊർജ്ജ ഓപ്പറേറ്ററായ H ന് ആനുപാതികമായ ഐഗൻ വില En ഉം ഐഗൻ ഫംഗ്ഷൻ (psi)n ഉം ആയാൽ, എക്സ്പാൻഷൻ തിയറം പ്രകാരം ഇപ്രകാരം എഴുതാം :

En = En° + k En^(1) + k^2 En^(2) + k^3 En^(3) + .......... 

(psi)n = (psi)n° + k (psi)n^(1)+ k^2 (psi)n^(2) + k^3 (psi)n^(3) + .......

മേൽ സൂചിപ്പിച്ച സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും വ്യക്തമാകുന്ന കാര്യം, സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിൽ ഉണ്ടാകുന്ന മാറ്റങ്ങൾക്കാസ്പദമായി ഒരു പ്രത്യേക ഊർജ്ജ നിലയിലെ മൊത്ത ഊർജ്ജത്തിൽ മാറ്റം വരുന്നു ! മൊത്ത ഊർജ്ജത്തിൽ വരുന്ന മാറ്റത്തെ ഒന്നാം കൃതി തിരുത്തൽ അഥവാ ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ കറക്ഷൻ , രണ്ടാം കൃതി തിരുത്തൽ അഥവാ സെക്കൻഡ് ഓർഡർ കറക്ഷൻ , മൂന്നാം കൃതി തിരുത്തൽ അഥവാ തേർഡ് ഓർഡർ കറക്ഷൻ എന്നിങ്ങനെ എത്ര വരെ വേണമെങ്കിലും പരിഗണിക്കാം ! ശൂന്യ കൃതി പദം അഥവാ സീറോ ഓർഡർ ടേം എന്നാൽ അൺ പെർട്ടർബ്ഡ് ചലനാവസ്ഥയ്ക്ക് തുല്യമായ ഊർജ്ജമാണ് ! ശൂന്യ കൃതിയിലെ ഊർജ്ജത്തോടൊപ്പം  ഊർജ്ജ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ എത്ര കൃതി വരെ സങ്കലനം ചെയ്യണമെന്നത് ചലന വ്യവസ്ഥ ആവശ്യപ്പെടുന്ന കൃത്യതയുടെ അളവ് കോൽ അനുസരിച്ച് തീരുമാനിക്കാം ! അതുകൊണ്ട് തന്നെയാണ് ആദ്യന്തം ഇതൊരു ഏകേദശവൽക്കരണ പ്രക്രിയ ആകുന്നതും ! വേവ് ഫംഗ്ഷനും ഇത്തരത്തിൽ വിവിധ ക്രമത്തിൽ കിട്ടും !

 സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമത്തിലെ പ്രധാന ഗണിത ക്രിയ,  വിവിധ ഊർജ്ജ നിലകൾക്ക് ആസ്പദമായി മൊത്ത ഊർജ്ജത്തിലും വേവ് ഫംഗ്ഷനിലും വന്നിട്ടുള്ള തിരുത്തൽ പദങ്ങളുടെ വിവിധ ക്രമങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ! 

ഇത് പ്രകാരം കണ്ടെത്തിയ ഊർജ്ജത്തിൻ്റെ  ഒന്നാം കൃതി തിരുത്തൽ പദം ചുവടെ ചേർക്കുന്നു :

En^(1) = < n | H' | n > 

n = 0,1,2,3... ഉം H' പ്രത്യേക ചലനാവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പെർട്ടർബ്ഡ് ഹാമിൽട്ടോണിയനുമാണ് ! ഗണിത ക്രിയ ചെയ്യേണ്ടത് ഡിറാക് നൊട്ടേഷൻ മുന്നോട്ട് വയ്ച്ചിട്ടുള്ള മെട്രിക്സ് രീതി പ്രകാരമാണ് ! ഊർജ്ജ കൃതിലെ മറ്റ് തിരുത്തൽ പദങ്ങളും അതേ പോലെ വിവിധ കൃതികളിലുള്ള വേവ് ഫംഗ്ഷൻ തിരുത്തൽ പദങ്ങളും തുടർന്ന് കണ്ടെത്താൻ സാധിക്കും ! ഇത് സംബന്ധിച്ച് കൂടുതൽ അറിയാൻ ചുവടെ കാണുന്ന ലിങ്ക് പരിശോധിക്കം !

ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക!

Repost: ക്വാണ്ടം ഭൗതികതയ്ക്ക് ഒരവതാരിക

 2025 ക്വാണ്ടം സെഞ്ച്വറി വർഷമായി ആചരിക്കാൻ ഐക്യരാഷ്ട്ര സഭ തീരുമാനിച്ചിരിക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ ക്വാണ്ടം ഭൗതികതയെ സംബന്ധിധിച്ച് ഒരവതാരിക എഴുതുന്നു.....

ക്ലാസിക്കൽ ചലന നിയമങ്ങളിൽ ഒടുവിലെത്തിയ ഹാമിൽട്ടൻ -ജേക്കബി സമവാക്യത്തിന്റെ ഉൽഭവത്തോടെ ക്വാണ്ടം ഭൗതികതയിലേക്കുള്ള ഗണിത പരമായ സൈദ്ധാന്തിക പ്രയാണം സാധ്യമായിരുന്നു. പദാർത്ഥങ്ങളുടെ ദ്വന്ദ സ്വഭാവമാണ് ക്വാണ്ടം ഭൗതികതയുടെ മുഖമുദ്ര എങ്കിൽ ക്ലാസ്സിക്കൽ ഭൗതികതയിലാകട്ടെ കണികാ സിദ്ധാന്തവും തരംഗ സിദ്ധാന്തവും ഒറ്റപ്പെട്ട രണ്ടു ദ്വീപുകളിലായി അകലം പ്രാപിച്ചിരുന്നു. ആയതിനാൽ, ന്യൂട്ടൻെറ ചലന നിയമം  തുടങ്ങി ഹാമിൽട്ടൻ സിദ്ധാന്തം വരെ പദാർത്ഥങ്ങളുടെ കണികാ സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തി മാത്രം രൂപപ്പെട്ടതും  നിർദ്ധാരണം ചെയ്തതുമാണ്. എന്നാൽ, ഇക്കാലയളവിൽ തരംഗത്തെ അഭിസംബോധന ചെയ്തിരുന്നതാകട്ടെ ക്രിസ്ത്യൻ ഹൈഗന്റെ തരംഗ സിദ്ധാന്തമായിരുന്നു. എന്നാൽ, മേൽസൂചിപ്പിച്ച രണ്ടു അവസ്ഥയെയും,  അതായതു പദാർത്ഥ കണികകളേയും തരംഗത്തെയും പ്രത്യേകമായി ഒരേ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിൽ വിജയിച്ചിടത്താണ് ഹാമിൽട്ടൻ -ജേക്കബി സമവാക്യം അതിന്റെ പ്രസക്തി പരിസരം സൃഷ്ടിക്കുന്നത്.  

    ഹാമിൽട്ടൻ -ജേക്കബി സമവാക്യത്തിന്റെ മേൽ സൂചിപ്പിച്ച സാധ്യതയെ മുൻനിർത്തി ഡി-ബ്രോഗ്ലിയുടെ ദ്വന്ദ നിയമത്തെയും അത്പോലെ ബോറും സോമർഫെൽഡും ചേർന്ന് രൂപപ്പെടുത്തിയ ക്വാണ്ടവൽക്കരണ നിയമത്തെയും ഹയിസൺ ബർഗിൻ്റെ അനിശ്ചിതത്വ നിയമത്തേയും മാക്സ് പ്ലാങ്കിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തേയും ഖണ്ഡിചേർത്ത് ഷോഡിന്ജർ രൂപപ്പെടുത്തിയ സമവാക്യമാണ് ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിത്തറ ഭൗതികമായും ഗണിതപരമായും ഭദ്രമാക്കിയിട്ടുളളത്‌. പദാർത്ഥത്തിന്റെ ദ്വന്ദ സ്വഭാവം അനുസരിച്ച് അവയെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്ന തരംഗത്തെ സംബന്ധിച്ചാണ് ഡി-ബ്രോഗ്ലി അന്വേഷിച്ചതും കണ്ടെത്തിയതും.  Lamda= h/p എന്ന ഫോർമുല ദ്വന്ദസ്വാഭാവത്തിന്റെ കാതലായ ഗണിതസൂചകമാണ്.  ഇവിടെ lamda തരഗദൈർഘ്യവും 'h' പ്ലാങ്ക് സ്ഥിരാംഗവും 'p' പദാർത്ഥ കണികയുടെ ആക്കവുമാകുന്നു. എന്നാൽ ഷോഡിന്ജർ പഠനം നടത്തിയതാകട്ടെ, നിമഗ്നമയ പദാർത്ഥ തരംഗത്തെ; ഹാമിൽട്ടൻ-ജേക്കബി സമവാക്യത്തേയും ഹൈഗൻ തത്വങ്ങളെയും സമന്വയിപ്പിച്ച് എങ്ങനെ നിർധാരണം നടത്താം എന്നാണ്. അതുവഴി ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിത്തറ ഗണിതപരമായി ഭദ്രമാക്കുന്നതിലും ശ്രദ്ധ ചെലുത്തി. തൽഫലമാണ്, ക്വാണ്ടം ഭൗതികതയിൽ അടിസ്ഥാന സമവാക്യ രൂപീകരണത്തിനും പിൽക്കാലത്ത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ തന്നെ പേരിൽ പ്രസിദ്ധമായ ഷൊഡിന്ജർ സമവാക്യം രൂപപ്പെടുന്നത്. ചുരുക്കത്തിൽ H psi = E psi എന്നാണ് ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ സാമാന്യ രൂപം. ഇവിടെ ഡി-ബ്രോഗ്ലിയുടെ സമീപനത്തിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായി പദാർത്ഥ തരംഗത്തിന്റെ ഉന്നതിയിലാണ് ഷോഡിന്ജർ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ചത്. E പദാർത്ഥത്തിന്റെ ആകെ ഊർജ്ജത്തെ സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, H ഊർജ്ജത്തെ അന്വേഷിക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്പറേറ്റർ ആയി വർത്തിക്കുന്നു.

     ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണം പലപ്പോഴും ലളിതമായ ഭൌതികാവസ്ഥകളെ മാറ്റിനിർത്തിയാൽ, നയിക്കുന്നത് അപ്രായോഗിക നിഗമനങ്ങളിലേയ്ക്കായിരിക്കും. ആയതിനാൽ ചില ഏകദേശ വൽക്കരണ രീതികൾ നിർദ്ധാരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ആവശ്യമായി വരുന്നു. ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് പകർപ്പുകൾ ഉണ്ട്; സമയബന്ധിതമായതും അല്ലാത്തതും. വിശകലനം ചെയ്യപ്പെടേണ്ട ഓരോ ഭൌതികാവസ്ഥയുടെയും സ്വഭാവം മനസ്സിലാക്കി അനുയോജ്യമായ പകർപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് സാധാരണ രീതി. സമയബന്ധിതമായ ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യം ലളിതമായ ഭൌതികാവസ്ഥയിൽ ഉപയോഗിക്കാൻ അനുയോജ്യമായതിനാൽ ഇവിടെ ഏകദേശ വൽക്കരണ രീതികൾ ആവശ്യമായി വരുന്നില്ല. എന്നാൽ, സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണത്തിനായി രൂപപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഗണിത ശാസ്ത്ര രീതികളാണ് WKB ഏകദേശ വൽക്കരണ രീതി, വേരിയേഷണൽ തത്വം, അതുപോലെ സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ സിദ്ധാന്തം എന്നിവ. ഇവയിൽ WKB രീതിയുടെ പ്രയോഗ സാധ്യതകളെ കുറിച്ച് ചില സൂചനകൾ തുടർന്ന് പ്രതിപാദിക്കാം.
  ക്ലാസ്സിക്കൽ ഭൌതികാവസ്ഥയുടെ പരിധിയിൽ കുടികൊള്ളുന്ന പ്രശ്നങ്ങളെയും ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തത്തേയും അതിന്റെ പരിപൂർണ്ണ പരിധിയിൽ ചലനാത്മകമായ അവസ്ഥകളെയും തമ്മിൽ ഖണ്ഡിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഏകദേശവൽകരണ ഗണിത ക്രിയ ആണ്; വെന്റ്സെൽ, ക്രോമേഴ്സ്, ബ്രില്ലോയിൻ എന്നീ മൂന്ന് ശാസ്ത്രകാരന്മാരുടെ സംഭാവനകളെ മാനിച്ച് അവരുടെ പേരിന്റെ ആദ്യാക്ഷ  ങ്ങൾ ചേർത്ത് അറിയപ്പെടുന്ന WKB ഏകദേശവൽക്കരണ രീതി. ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തം പ്രകാരം ഏതൊരു ചലനാവസ്ഥയുമായും ബന്ധപ്പെട്ട്  കുടികൊള്ളുന്ന ദ്വന്ദ സ്വഭാവത്തിന്റെ രീതി ശാസ്ത്രം വ്യക്തമാക്കുന്നത് പദാർത്ഥ തരംഗങ്ങളുടെ (Matter Waves) നിർദ്ധാരണം,  ആ പ്രത്യേക ചലനത്തിനാസ്പദമായ സമഗ്രമായ വിവര ശേഖരണത്തിനുള്ള ഉപാധിയായിട്ടാണ്. പദാർത്ഥ തരംഗങ്ങളെ ഗണിതശാസ്ത്ര പരമായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിൽ ഷോഡിൻജർ കൈവരിച്ച നേട്ടം അനുപമമാണ്.  ഇവിടെ WKB എന്നത്, ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യം അതിന്റെ നിർദ്ധാരണത്തിനാവശ്യമായ ഗണിത മേഖലകളിലൂടെ മുന്നേറുമ്പോൾ ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തം അനുവർത്തിക്കുന്ന ഭൌതികാവസ്ഥയുടെ വിവിധങ്ങളായ സാധ്യതകൾ ഉപയോഗപ്പെടുത്തി പ്രായോഗിക നിഗമനങ്ങളിൽ  എത്തിച്ചേരുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉപാധിയാണ്. ചില ഏകദേശ രീതി ക്രമങ്ങൾ ഇതിനു അനുബന്ധമായി കാണേണ്ടതുണ്ട്. WKB രീതിയുടെ പ്രയോഗത്തിനായി ഷോഡിന്ജർ സമവാക്യത്തെ ഒറ്റപ്പെട്ട സ്വതന്ത്ര പ്രത്യയങ്ങളടങ്ങിയ പദങ്ങളായി വേർപെടുത്തുകയും, ഓരോ പദവും ഓരോ ഭൌതികാവസ്ഥയുടെ പരിധിയിൽ മൂല്യവത്താകുന്നതായി വർത്തിക്കുന്നു !

                                                          (തുടരും)

New publication

For viewing full length paper Click here

 

New publication

View the full version here

 

Admission 2025 begins @ SN College, Chengannur

 

Participation in NEP orientation and sensitisation programme at UGC-MMTTC University of Kerala

 

New publication

Full length paper
 

Webinar

AKPCTA Alappuzha district conference

 

Participation certificate, National Science day celebration 2025 by KSCSTE

 

Reviewer certificate

 

Reviewer certificate

 

Tensor

 

Dear students 

See the lecture notes attached regarding Tensors included in the first semester PG mathematical Physics course under Kerala University syllabus.

CLICK HERE

Thanks

Regards.....

🌼🌼🌼

GREENS function

 

Follow the link to access the lecture notes on Greens function 

Click here 

Thanks 

Regards 🎇

Interactive session with higher secondary school students

 Talk on four year under graduate programme at PHSS , Mezhuveli, Pathanamthitta district (16/01/2025)

Talk on four year undergraduate programme at SN Trust HSS, Cheriyànad (10/01/2025)

Peer Review Records

The year 2024 turned out be a reviewer year for me !!  Out of the 50 peer review records so far, 13 completed in the year 2024. 

(50 peer review records of manuscripts submitted in various research journals)

 

1.     2024: Physica scripta (3 reviews) (IOP)

2.     2024: Philosophical magazine (Taylor & Francis Ltd)

3.     2024: Particulate science and technology (Taylor & Francis Inc)

4.     2024: Micron (Elsevier)

5.     2024: Materials research (Univ Fed Sao Carlos)

6.     2024: Luminescence (Wiley)

7.     2024: Journal of Taibah University for Science (Taylor & Francis Ltd)

8.     2024: Journal of Physical Science (Univ Sains Malaysia)

9.     2024: Indian Chemical Engineer (Taylor & Francis Ltd)

10.  2024: Particulate Science and Technology (Taylor & Francis)

11.  2024: Journal of the Chinese Chemical Society (Wiley)

12.  2024: International Journal of Phytoremediation (Taylor & Francis)

13.  2024: Optical Materials (Elsevier)

14.  2023: Optical Materials (Elsevier)

15.  2022: Results in Optics (Elsevier)

16.  2021: Advanced Engineering Materials

17.  2021: Journal of Nanoparticle Research

18.  2020: Journal of Nanoparticle Research (Springer)

19.  2020: Journal of Applied Polymer Science (Wiley)

20.  2020: Advanced Engineering materials (Wiley)

21.  2019: Advances in Natural Sciences: Nanoscience and Nanotechnology (VAST (VN) & IOP (UK))

22.  2019: SN Applied Sciences (springer)

23.  2019: Biosciences, Biotechnology Research Asia

24.  2019: Global conference on Polymer and Composite materials (PCM 2019, CPCM conference)

25.  2019-05-27: Modern Physics Letters B (World Scientific Publishing)

26.  2019-04-04: Modern Physics Letters B (World Scientific Publishing)

27.  2018-05-07: Journal of Nanomaterials (Hindawi)

28.  2017-11-11: International Journal of Nanoscience (World Scientific)

29.  2017-05-30: Green Chemistry Letters and Reviews (Taylor & Francis)

30.  2017-04-12: Journal of Nanomaterials (Hindawi)

31.  2014-09-28: Materials Science and Engineering B (Elsevier)

32.  2014-08-14: Journal of Materials Science (Springer)

33.  2013-09-12: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

34.  2013-09-12: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

35.  2013-09-12: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

36.  2013-09-12: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

37.  2013-09-11: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

38.  2013-09-11: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

39.  2013-09-11:DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

40.  2013-09-10: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

41.  2013-09-10:DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

42.  2013-09-10:DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

43.  2013-09-10: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

44.  2012-09-13: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

45.  2012-09-13:DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

46.  2012-09-13: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

47.  2012-09-13: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

48.  2012-09-13: DAE Solid State Physics Symposium (AIP Conference series)

49.  2012-09-12: Journal of Materials Science (Springer)

50.  2012-07-17: Journal of Materials Science (Springer)

 

For viewing more details regarding reviews. Please visit at:

https://www.webofscience.com/wos/author/record/I-6675-2019

& https://publons.com/researcher/1351575/arun-s-prasad/

&https://orcid.org/0000-0002-7267-814X