സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമവും ക്വാണ്ടം ചലനാവസ്ഥയുടെ നിർദ്ധാരണവും

 

ക്വാണ്ടം ചലന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പരിധിയിൽ വരുന്ന ഒരു പ്രായോഗിക അവസ്ഥയെ, ഷ്രോഡിൻജർ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കൃത്യമായി നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുക അത്ര എളുപ്പമല്ല ! ഇതിന് കാരണം, ക്വാണ്ടം പരിധിയിൽ വരുന്ന ഒരു യഥാർത്ഥ ചലനാവസ്ഥയുടെ  സ്ഥിതികോർജ്ജം അഥവാ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ സാധിക്കാത്തതാണ് ! ഇതുകൊണ്ട് തന്നെ നമുക്ക് ചില ഏകദേശവൽക്കരണ പ്രക്രീയയിലൂടെ മാത്രമേ  അത്തരം ചലനാവസ്ഥകളെ ഷ്രോഡിൻജർ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നിർദ്ധാരണം ചെയ്യാൻ സാധിക്കു ! ഇതിനായി, വിവിധ ഏകദേശവൽക്കരണ പ്രക്രീയകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട് ! അവയിൽ പ്രധാനമായ ഒന്നാണ് സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമം ! കഴിഞ്ഞ ലേഖനത്തിൽ ഇതിൻ്റെ ഒരു സൂചന നൽകിയിരുന്നു ! അതിൻ്റെ ലിങ്ക് ചുവടെ ചേർക്കുന്നു !

ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക

 സ്ഥിതികോർജ്ജം കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ സാധിക്കാത്ത പക്ഷം, മൊത്തം ഊർജ്ജത്തെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്ന ഓപ്പറേറ്ററായ ഹാമിൽട്ടോണിയൻ (H) അറിയുക പ്രയാസമാണ് ! ഇനി, ചലനാവസ്ഥയുടെ സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിൽ ഉണ്ടായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന മാറ്റങ്ങൾ വളരെ പരിമിതമായതാണെന്ന് കരുതിയാൽ, ആ മാറ്റങ്ങൾക്കാനുപാതികമായ H നെ H' എന്ന് വിളിക്കാം ! ഇവിടെ H' നെ പെർട്ടർബേഷൻ ഹാമിൽട്ടോണിയൻ എന്നറിയപ്പെടുന്നു ! അതായത്, H' എന്നത് സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിലുണ്ടായ ഒരു ചെറിയ മാറ്റത്തെ മാത്രം പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്ന എനർജി ഓപ്പറേറ്ററാണെന്ന് സാരം ! 

സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിൽ മാറ്റം ഉണ്ടാകാത്ത ഒരു ക്ലാസിക്കൽ അവസ്ഥ പരിഗണിച്ചാൽ, അവിടുത്തെ മൊത്ത ഊർജ്ജ ഓപ്പറേറ്റർ H° ആയിരിക്കും ! ഇവിടെ H° യെ അൺപെർട്ടർബ്ഡ് ഹാമിൽട്ടോണിയൻ എന്ന് വിളിക്കാം ! 

അപ്പോൾ പെർട്ടർബേഷൻ കൂടി പരിഗണിക്കുമ്പോഴുള്ള മൊത്ത ഊർജ്ജ ഓപ്പറേറ്റർ, H ആയി എടുത്താൽ :

H= H° + k H' ആയിരിക്കും !

സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമത്തിൽ, H (psi) = E (psi) എന്ന ഷ്രോഡിൻജർ സമവാക്യത്തെ കൂടുതൽ കൃത്യതയോടെ, (H° + kH') (psi) = E (psi) എന്നെഴുതാം ! 

ഇവിടെ k എന്നത് ഒരു സ്ഥിരാംഗമാണ്! k ക്ക് 0 , 1 എന്നീ വിലകൾ അനുവദനീയമാണ് ! k=0 ആയാൽ ആ ചലനാവസ്ഥ അൺപെർട്ടർബ്ഡ് ആണ് ! അതായത്, H = H° ആകും ! k= 1 ആയാൽ ചലനാവസ്ഥ പെർട്ടർബ്ഡ് ആകുന്നു , അതായത്, H = H° + H' ആകും !

ഇവിടെ H° എന്ന അൺ പെർട്ടർബ്ഡ് ഹാമിൽട്ടോണിയന് ആനുപാതികമായ എനർജി ഐഗൻ വിലയെ En° എന്നും , ഐഗൻ വേവ് ഫംഗ്ഷനെ (psi)n° എന്നും വിളിക്കാം . ഇവിടെ, n എന്നത് ചലനാവസ്ഥ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന വ്യത്യസ്ഥങ്ങളായ ഊർജ്ജ നിലകളാണ് ; n ന് 0,1,2.... മുതലുള്ള വിലകൾ അനുവദനീയമാണ് ! 

അതേ പോലെ H' ന് ആനുപാതികമായ ഏനർജി ഐഗൻ വിലയും ഐഗൻ ഫoഗ്ഷനും എഴുതാം !

 ചലാനവസ്ഥയുടെ മൊത്ത ഊർജ്ജ ഓപ്പറേറ്ററായ H ന് ആനുപാതികമായ ഐഗൻ വില En ഉം ഐഗൻ ഫംഗ്ഷൻ (psi)n ഉം ആയാൽ, എക്സ്പാൻഷൻ തിയറം പ്രകാരം ഇപ്രകാരം എഴുതാം :

En = En° + k En^(1) + k^2 En^(2) + k^3 En^(3) + .......... 

(psi)n = (psi)n° + k (psi)n^(1)+ k^2 (psi)n^(2) + k^3 (psi)n^(3) + .......

മേൽ സൂചിപ്പിച്ച സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും വ്യക്തമാകുന്ന കാര്യം, സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിൽ ഉണ്ടാകുന്ന മാറ്റങ്ങൾക്കാസ്പദമായി ഒരു പ്രത്യേക ഊർജ്ജ നിലയിലെ മൊത്ത ഊർജ്ജത്തിൽ മാറ്റം വരുന്നു ! മൊത്ത ഊർജ്ജത്തിൽ വരുന്ന മാറ്റത്തെ ഒന്നാം ക്രമം തിരുത്തൽ അഥവാ ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ കറക്ഷൻ , രണ്ടാം ക്രമം തിരുത്തൽ അഥവാ സെക്കൻഡ് ഓർഡർ കറക്ഷൻ , മൂന്നാം ക്രമം തിരുത്തൽ അഥവാ തേർഡ് ഓർഡർ കറക്ഷൻ എന്നിങ്ങനെ എത്ര വരെ വേണമെങ്കിലും പരിഗണിക്കാം ! ശൂന്യ ക്രമ പദം അഥവാ സീറോ ഓർഡർ ടേം എന്നാൽ അൺ പെർട്ടർബ്ഡ് ചലനാവസ്ഥയ്ക്ക് തുല്യമായ ഊർജ്ജമാണ് ! ശൂന്യ ക്രമത്തിലെ ഊർജ്ജത്തോടൊപ്പം  ഊർജ്ജ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ എത്ര ക്രമം വരെ സങ്കലനം ചെയ്യണമെന്നത് ചലന വ്യവസ്ഥ ആവശ്യപ്പെടുന്ന കൃത്യതയുടെ അളവ് കോൽ അനുസരിച്ച് തീരുമാനിക്കാം ! അതുകൊണ്ട് തന്നെയാണ് ആദ്യന്തം ഇതൊരു ഏകേദശവൽക്കരണ പ്രക്രിയ ആകുന്നതും ! വേവ് ഫംഗ്ഷനും ഇത്തരത്തിൽ വിവിധ ക്രമത്തിൽ കിട്ടും !

 സമയബന്ധിതമല്ലാത്ത പെർട്ടർബേഷൻ നിയമത്തിലെ പ്രധാന ഗണിത ക്രിയ,  വിവിധ ഊർജ്ജ നിലകൾക്ക് ആസ്പദമായി മൊത്ത ഊർജ്ജത്തിലും വേവ് ഫംഗ്ഷനിലും വന്നിട്ടുള്ള തിരുത്തൽ പദങ്ങളുടെ വിവിധ ക്രമങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ! 

ഇത് പ്രകാരം കണ്ടെത്തിയ ഊർജ്ജത്തിൻ്റെ  ഒന്നാം ക്രമ തിരുത്തൽ പദം ചുവടെ ചേർക്കുന്നു :

En^(1) = < n | H' | n > 

n = 0,1,2,3... ഉം H' പ്രത്യേക ചലനാവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പെർട്ടർബ്ഡ് ഹാമിൽട്ടോണിയനുമാണ് ! ഗണിത ക്രിയ ചെയ്യേണ്ടത് ഡിറാക് നൊട്ടേഷൻ മുന്നോട്ട് വയ്ച്ചിട്ടുള്ള മെട്രിക്സ് രീതി പ്രകാരമാണ് ! ഊർജ്ജ ക്രമത്തിലെ മറ്റ് തിരുത്തൽ പദങ്ങളും അതേ പോലെ വിവിധ ക്രമങ്ങളിലുള്ള വേവ് ഫംഗ്ഷൻ തിരുത്തൽ പദങ്ങളും തുടർന്ന് കണ്ടെത്താൻ സാധിക്കും ! ഇത് സംബന്ധിച്ച് കൂടുതൽ അറിയാൻ ചുവടെ കാണുന്ന ലിങ്ക് പരിശോധിക്കം !

ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക!